La fonction logarithme népérien

Partie A   Beaucoup de travail pour une seule équation !

On considère l'équation :   \(12\times 0{,}000\,000\,000\,01^x=0{,}05\quad\quad(E)\)

ainsi que la courbe de la fonction de la fonction \(x\mapsto 12\times 0{,}000\,000\,000\,01^x\)  :

1. Expliquer pourquoi cette représentation graphique ne permet pas de trouver une solution correcte de l'équation \((E)\) .

2. Démontrer que l'équation est équivalente à : \(10^{11x}=240\quad\quad(E')\)

3. Résoudre graphiquement l'équation `10^x=240.` On donnera une valeur approché à `10^{-2}`  de la solution \(x_0\) .

4. En déduire que la solution de  \((E)\) est environ égale à \(\dfrac{x_0}{11}\) .

Partie B   Gagner de la rapidité de calcul avec la fonction logarithme népérien

Il est fréquent de manipuler en sciences des constantes très petites ou très grandes. La résolution graphique d'équations de la forme `a^x=m`  devient alors très pénible.

La fonction logarithme népérien, notée ln, permet de gagner un temps précieux dans la résolution de ce genre d'équations. En effet cette fonction, introduite par le mathématicien écossais Jean Neper, a la propriété de « transformer les puissances en produit ».

Ainsi :  \(\ln(a^x)=x \ln a\) .                               ``      

Conséquence : Si  \(a\)   est un réel strictement positif distinct de \(1\) et si \(m\) est un réel strictement positif, l'équation \(a^x=m\)   a pour  solution \(x=\dfrac{\ln (m)}{\ln (a)}\) .

Exemple : l'équation `3^x=5` a pour solution \(x=\dfrac{\ln{(5)}}{\ln(3)} \simeq 1{,}46\) .

1. Résoudre les équations suivantes :

    a. `3^x=54`           b.   \(0{,}34^x=0{,}1\)           c. `12\times 7^x=64`

2. Résoudre l'équation \((E)\) . Comparer avec la valeur trouvée à la question 4 de la partie A.